现代的老虎机都是基于一种被称为随机数生成器的技术来计算结果。老虎机的返奖率通过编程来实现一个不低于法定返奖率的数值。通常有专门的博彩监管机构来决定最低的返奖率是多少。
如果一台老虎机宣传它的返奖率是 99%， 说明 1% 的总投注额将成为这台老虎机的利润。那么是否意味着每次玩家投入 100 块，都会拿到 99 块呢？那么什么是随机数生成器？它又是如何工作的？
在我们回答这个问题之前，首先回顾一下一些基础的概率的概念以及学习排列组合的基础知识。这些概念将会帮助我们理解如何计算老虎机的返奖率（RTP）和获胜频率（Hit Rate）。
概率
概率是数学的一个分支，用于确定随机事件发生的可能性。它基于对排列组合的研究，是统计学的基础。概率的值是一个在 0 和 1 之间的数，0 表示绝对不会发生，1 表示绝对会发生。有时候我们也用百分数来表示。
两位 17 世纪法国数学家布莱斯·帕斯卡 (Blaise Pascal) 和皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat)被认为是概率论的发展者，而第一个系统地推算概率的人是 16 世纪的卡尔达诺（Gerolamo Cardano）。
几个世纪以来，人们一直在试图用概率论来解答博彩游戏的相关问题上包含着极大的兴趣。例如掷骰子问题。在掷一个六面骰子的游戏中，有人可能会认为，在连续的出现了多个 6 之后，出现不是 6 的概率会越来越大。这个判断是错误的，不管前面出现了多少个 6。下一个出现 6 的几率还是 1/6。
在我们继续讨论概率之前，我们应该问自己，到底是什么决定了一个事件发生的可能性。物理学会告诉我们，自然界中所有的事物都受到物理定律的约束，因此一个事件是否发生应该由这些定律来决定，并且通过正确的运用这些定律，我们就能够确定其结果。例如抛硬币的问题，物理定律也许会告诉我们在硬币落到地面之前会在空中翻转几次，因此落地时哪一面会朝上。实际上，我们没办法获得足够的信息和数据来解决这个问题。一个随机事件也通常称之为“公平”事件（fair event）。
在老虎机中，随机数就是提供公平事件的一种方式。随机数保证了老虎机游戏的公平性，玩家获胜的概率仅仅依赖于基于计算机芯片产生的随机数。
排列组合
排列和组合的区别在于，决策的顺序是否对结果产生影响。
有影响，排列
无影响，组合
从 n 个元素中取出 k 个元素，k 个元素的排列数量为：
P
n
k
n
!
(
n
−
k
)
!
P
k
n
(n−k)!
n!
以赛马为例，有 8 匹马参加比赛，玩家需要在彩票上按名次顺序填入前三名胜出的马的号码（第1、2、3名各自不同），那么从 8 匹马中取出 3 匹并排列名次，排列的数量为：
P
8
3
8
!
(
8
−
3
)
!
8
×
7
×
6
336
P
3
8
(8−3)!
8!
=8×7×6=336
那么一共存在 336 种可能性，因此玩家中奖的概率为：
P
1
336
0.00298
P=
336
1
=0.00298
从 n 个元素中取出 k 个元素，k 个元素的组合数量为：
C
n
k
(
n
k
)
P
n
k
k
!
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
C
k
n
=(
k
n
)=
k!
P
k
n
k!(n−k)!
n!
以六合彩为例。在六合彩中从 49 颗球中取出 6 颗球的组合数量为：
C
49
6
(
49
6
)
49
!
6
!
43
!
13983816
C
6
49
=(
6
49
)=
6!43!
49!
=13983816
随机数生成器（RNG）
现代老虎机的核心是随机数生成器（Random Number Generator，RNG）。它是一段持续运行的计算机程序，每秒钟产生数以百万计的随机数，每个随机数对应卷轴上的一个停止位置。当玩家按下旋转按钮的那一刻，RNG 当前的输出值就被读取，决定了这一局的结果。
严格来说，计算机产生的是伪随机数（Pseudo-random Number）。伪随机数由确定性的算法（如梅森旋转算法）生成，只要初始种子相同，序列就完全可重复。然而由于种子通常取自当前时间的纳秒级精度，实际上玩家无法预测或干预结果，从玩家视角看与真正的随机无异。
虚拟卷轴映射（Virtual Reel Mapping）
物理卷轴上每个符号出现的概率并不相等。游戏设计师通过虚拟卷轴来控制概率：将 RNG 产生的一个大范围的数字区间映射到实际符号上，高价值符号对应的数字区间小，低价值符号对应的数字区间大。
例如一个虚拟卷轴有 64 个停止位，实际卷轴只有 5 个符号：
符号 虚拟停止位数 出现概率
钻石 1 1/64 ≈ 1.56%
七 3 3/64 ≈ 4.69%
铃铛 8 8/64 = 12.5%
橙子 20 20/64 ≈ 31.25%
樱桃 32 32/64 = 50%
这样设计师就能精确控制每种组合出现的概率，从而实现目标 RTP。
用排列组合计算老虎机的 RTP
有了排列组合的基础，我们现在可以计算一台简单老虎机的返奖率。
以一台 3 轴、每轴 5 个符号的老虎机为例，假设每轴各符号的出现概率均等（各 1/5）。三轴的组合总数为：
5
3
125
5
3
=125
假设赔率表如下（押注 1 元）：
组合 赔率 出现概率
50 倍
(
1
/
5
)
3
1
/
125
(1/5)
3
=1/125
20 倍
1
/
125
1/125
10 倍
1
/
125
1/125
5 倍
1
/
125
1/125
3 倍
1
/
125
1/125
任意两个 1 倍
(
3
2
)
(
1
/
5
)
2
(
4
/
5
)
12
/
125
(
2
3
)(1/5)
2
(4/5)=12/125
未中奖 0 倍 剩余概率
RTP 的计算公式为：
R
T
P
∑
i
p
i
×
payout
i
RTP=
i
∑
p
i
×payout
i
代入数据：
R
T
P
1
125
(
50
+
20
+
10
+
5
+
3
)
+
12
125
×
1
88
125
+
12
125
100
125
80
%
RTP=
125
1
(50+20+10+5+3)+
125
12
×1=
125
88
+
125
12
125
100
=80%
这台假设的老虎机 RTP 为 80%。在实际游戏中，设计师会调整每个符号的虚拟卷轴映射和赔率表，将 RTP 精确控制到目标值（通常在 92%～97% 之间）。
获胜频率（Hit Rate）
获胜频率（Hit Rate）是指玩家在一局游戏中获得任何奖励的概率，与 RTP 是两个完全不同的概念。
RTP 衡量的是奖金总量：长期下来能拿回多少钱
Hit Rate 衡量的是中奖频率：多久中一次奖
两者的关系可以这样理解：
类型 Hit Rate RTP 特点
高波动（高 VI） 低 相近 很少中奖，但偶尔大赢
低波动（低 VI） 高 相近 经常中小奖，但赔率低
在上面的例子中，Hit Rate 为：
H
i
t
R
a
t
e
5
+
12
125
17
125
13.6
%
HitRate=
125
5+12
125
17
=13.6%
即大约每 7 局中一次奖。
Hit Rate 和 RTP 共同决定了游戏的波动指数（Volatility Index）。同样的 RTP，高 Hit Rate 意味着低 VI，低 Hit Rate 意味着高 VI。
RTP 99% 不等于每次拿回 99 块
回到文章开头的问题：如果一台老虎机的 RTP 是 99%，是否意味着每次投入 100 块都能拿回 99 块？
答案是否。RTP 是一个长期统计期望值，背后的原理是概率论中的大数定律（Law of Large Numbers）：
当试验次数
N
N 趋向无穷大时，样本均值趋近于期望值。
lim
N
→
∞
X
ˉ
E
[
X
]
R
T
P
N→∞
lim
X
ˉ
=E=RTP
在实际游戏中，短期结果的波动可能非常剧烈。以 RTP = 99%、VI = 10 为例，根据置信区间公式，玩 100 局后实际 RTP 的 95% 置信区间为：
99
%
±
1.96
×
10
100
99
%
±
1.96
%
99%±1.96×
100
10
=99%±1.96%
也就是说，玩 100 局后实际收益率大概率落在 97%～101% 之间。只有当局数足够大（如几十万局），实际收益率才会稳定收敛到 99%。
这就是为什么短期内玩家可能大赢也可能大输，而老虎机运营商依靠庞大的用户量和局数，最终稳定获得那 1% 的利润。